DekantPM

A prediction market is a speculative market where participants trade contracts whose payoffs depend on the outcome of future events. In a binary prediction market, a contract pays $1 if event E occurs and $0 otherwise. The market price reflects the crowd's aggregate belief about the probability of E.

بازار پیش‌بینی یک بازار سفته‌بازی است که در آن شرکت‌کنندگان قراردادهایی را معامله می‌کنند که بازدهی آنها به نتیجه رویدادهای آینده بستگی دارد. در یک بازار پیش‌بینی دوتایی، یک قرارداد در صورت وقوع رویداد E مبلغ ۱ دلار و در غیر این صورت ۰ دلار پرداخت می‌کند.

Traditional prediction markets handle discrete outcomes: "Will candidate A win?" (Yes/No). But many real-world quantities are continuous: "What will the temperature be on July 1st?" "What will the price of ETH be on December 31st?"

بازارهای پیش‌بینی سنتی نتایج گسسته را مدیریت می‌کنند. اما بسیاری از کمیت‌های دنیای واقعی پیوسته هستند: «دمای هوا چقدر خواهد بود؟» «قیمت ETH چقدر خواهد بود؟»

A continuous prediction market elicits a full probability distribution over a continuous outcome space — it asks "What does the crowd believe the probability density function over all possible answers looks like?"

یک بازار پیش‌بینی پیوسته یک توزیع احتمال کامل روی فضای نتایج پیوسته استخراج می‌کند.

1. Aggregate beliefs — Allow participants to express nuanced probabilistic views.تجمیع باورها — به شرکت‌کنندگان اجازه بیان دیدگاه‌های دقیق را بدهد.
2. Maintain consensus — The market state encodes the crowd's aggregate probability distribution.حفظ اجماع — وضعیت بازار توزیع احتمال تجمیعی را کدگذاری کند.
3. Incentivize accuracy — Traders who move toward truth profit.انگیزه برای دقت — معامله‌گران دقیق سود ببرند.
4. Provide liquidity — An AMM ensures trades execute without counterparty.تأمین نقدینگی — AMM معاملات را بدون نیاز به طرف مقابل اجرا کند.

Consider a market with N outcomes (bins). We define:

بازاری با N نتیجه (بازه) را در نظر بگیرید:

• k (= total_minted): Total collateral deposited as complete sets.k (= total_minted): مجموع وثیقه واریزشده.
• h = (h₁, …, hₙ) (= reserves): AMM reserves per outcome.h = (h₁, …, hₙ) (= reserves): ذخایر AMM.
• x = (x₁, …, xₙ): Positions held by traders, where $x_i = k - h_i$x = (x₁, …, xₙ): موقعیت‌های معامله‌گران، $x_i = k - h_i$

The AMM enforces a constant L₂-norm on the position vector:

AMM یک نُرم L₂ ثابت روی بردار موقعیت اعمال می‌کند:

This defines a hypersphere of radius k in position space. All valid AMM states lie on this surface.

این یک ابَرکُره به شعاع k تعریف می‌کند. تمام حالات معتبر AMM روی این سطح قرار دارند.

A rational trader maximizes expected value on the invariant surface. By Cauchy-Schwarz:

یک معامله‌گر عقلانی ارزش مورد انتظار را بیشینه می‌کند. طبق کوشی-شوارتس:

The optimal position is directly proportional to the true probability distribution — making the L₂-norm AMM a market scoring rule.

موقعیت بهینه مستقیماً متناسب با توزیع احتمال واقعی است — ویژگی قاعده امتیازدهی بازار.

Linear (true at equilibrium): $p_i = x_i / \sum_j x_j$

خطی (واقعی در تعادل): $p_i = x_i / \sum_j x_j$

Quadratic (used by DekantPM):

درجه دو (مورد استفاده DekantPM):

The quadratic formula compresses values toward the extremes. A true 70% becomes ~84.5% displayed.

فرمول درجه دو مقادیر را به سمت حدود فشرده می‌کند. ۷۰٪ واقعی حدود ۸۴.۵٪ نمایش داده می‌شود.

To recover true probabilities: $p_i = \sqrt{\hat{p}_i} / \sum_j \sqrt{\hat{p}_j}$

بازیابی احتمالات واقعی: $p_i = \sqrt{\hat{p}_i} / \sum_j \sqrt{\hat{p}_j}$

When created with initial liquidity L and N outcomes:

با نقدینگی اولیه L و N نتیجه:

Trader spends c collateral (after fees) to buy tokens of outcome i. Complete-set minting first, then solve:

معامله‌گر c وثیقه (پس از کارمزد) برای خرید توکن‌های نتیجه i هزینه می‌کند:

Return t tokens: $x'_i = x_i - t$, compute $k' = \sqrt{\sum_j x'^2_j}$, collateral out = $k - k'$.

بازگرداندن t توکن: $x'_i = x_i - t$، محاسبه $k' = \sqrt{\sum_j x'^2_j}$، وثیقه خروجی = $k - k'$.

Range [a, b] divided into N bins. Bin center: $\text{center}_j = a + (2j+1)(b-a)/(2N)$

بازه [a, b] به N بازه تقسیم. مرکز: $\text{center}_j = a + (2j+1)(b-a)/(2N)$

Weights normalized so $\sum W_j = S = 10^9$.

وزن‌ها نرمالیزه تا $\sum W_j = S = 10^9$.

Trader returns T total tokens, distributed proportionally by Gaussian weights. Each bin receives $t_j = T \cdot W_j / S$, capped at the trader's holdings. After deducting tokens, recompute:

معامله‌گر T توکن بازمی‌گرداند، متناسب با وزن‌های گاوسی. هر بازه $t_j = T \cdot W_j / S$ دریافت می‌کند (محدود به دارایی معامله‌گر). پس از کسر توکن‌ها:

LP deposits d. Reserves scale proportionally, preserving probabilities:

LP مقدار d واریز می‌کند. ذخایر متناسب مقیاس می‌شوند:

Active: $\text{out} = k \cdot s / L_{\text{total}}$. Resolved: $\text{out} = h_{\text{win}} \cdot s / L_{\text{total}}$ + fee share.

فعال: $\text{out} = k \cdot s / L_{\text{total}}$. تعیین‌نتیجه‌شده: $\text{out} = h_{\text{win}} \cdot s / L_{\text{total}}$ + سهم کارمزد.

LPs earn 0.15% per trade (default). They face adverse selection from informed traders. Baseline loss with zero traders = 0% (LPs recover their full deposit). The old deterministic $1/\sqrt{N}$ loss was fixed by computing LP residual from actual trader token totals, not from AMM state variables.

LPها ۰.۱۵٪ به ازای هر معامله کسب می‌کنند. با انتخاب نامطلوب مواجه‌اند. زیان پایه بدون معامله‌گر = ۰٪ (LP کل سپرده را بازیابی می‌کند). زیان قطعی قبلی $1/\sqrt{N}$ با محاسبه باقیمانده LP از مجموع واقعی توکن‌های معامله‌گران رفع شد.

Oracle provides winning outcome. Holders redeem 1:1 minus redemption fee (default 0.5%).

اوراکل نتیجه برنده را ارائه می‌دهد. نگهدارندگان به نسبت ۱:۱ منهای کارمزد بازخرید (۰.۵٪) بازخرید می‌کنند.

Market: "ETH price on March 31" — Range [2000, 4000], N=5, L=1,000,000

بازار: «قیمت ETH در ۳۱ مارس» — بازه [۲۰۰۰, ۴۰۰۰]، N=۵، L=۱,۰۰۰,۰۰۰

Lifecycle: Create (uniform 20%) → Alice buys bin 2 → p̂₂ rises to ~34% → Bob dist-buys N(3000,400) → bell curve ~40% at center → Carol adds LP → depth grows → Oracle: ETH=$3,150 → bin 2 wins → Alice profits, Bob partially profits, Carol gets residual + fees.

چرخه حیات: ایجاد (یکنواخت ۲۰٪) → آلیس بازه ۲ → ≈۳۴٪ → باب خرید توزیعی N(۳۰۰۰,۴۰۰) → منحنی زنگی ≈۴۰٪ → کارول LP → اوراکل: ۳,۱۵۰$ → بازه ۲ برنده.

A round-trip (buy+sell) costs ≥ 2 × 0.3% = 0.6%, creating a natural bid-ask spread. LP fees accumulate and distribute proportionally on withdrawal.

یک رفت و برگشت (خرید+فروش) حداقل ۰.۶٪ هزینه دارد و اسپرد طبیعی ایجاد می‌کند.

1. Simplicity — Same AMM engine for discrete and continuous markets.سادگی — همان موتور AMM برای هر دو نوع بازار.
2. On-chain efficiency — O(N) operations, max N=256.کارایی درون‌زنجیره‌ای — O(N)، حداکثر N=۲۵۶.
3. Composability — Bin tokens individually tradeable.ترکیب‌پذیری — توکن‌های بازه جداگانه قابل معامله.
4. Exact solvency — Complete-set minting guarantees.توانایی پرداخت دقیق — تضمین ضرب مجموعه کامل.

1. Resolution granularity — Same-bin values treated identically.دقت تعیین نتیجه — مقادیر هم‌بازه یکسان.
2. Approximation error — PDF becomes step function.خطای تقریب — PDF تابع پله‌ای.
3. Fixed bins — Equal spacing may waste precision.بازه‌های ثابت — فاصله‌بندی برابر ممکن است دقت هدر دهد.
4. Taylor error — Degrades for |z| > 1.5.خطای تیلور — برای |z| > ۱.۵ تخریب.
5. Normal-only — Cannot express skew or multimodal beliefs.فقط نرمال — چولگی یا چندقله‌ای ممکن نیست.

Bin boundary creates payout discontinuity. Alternative: pro-rata resolution — distribute payouts to nearby bins proportionally.

مرز بازه ناپیوستگی پرداخت ایجاد می‌کند. جایگزین: تعیین نتیجه نسبی.

• Fixed N — Cannot refine after creation. Alt: adaptive binning / hierarchical markets.N ثابت — قابل اصلاح نیست. جایگزین: بازه‌بندی تطبیقی.
• Normal-only — Alt: log-normal, uniform, mixture, or arbitrary weight vectors.فقط نرمال — جایگزین: لوگ‌نرمال، یکنواخت، مختلط.
• Taylor precision — Degree-4 degrades for |z|>1.5. Alt: degree-8 or piecewise.دقت تیلور — درجه ۴ برای |z|>۱.۵. جایگزین: درجه ۸ یا قطعه‌ای.
• Compute budget — N=256 approaches Solana CU limits. Alt: batch processing.بودجه محاسباتی — N=۲۵۶ نزدیک حد CU سولانا. جایگزین: پردازش دسته‌ای.
• Quadratic distortion — Alt: display linear probabilities alongside quadratic prices.اعوجاج درجه دو — جایگزین: نمایش احتمال خطی در کنار قیمت‌های درجه دو.

Paradigm (Dave White, Dec 2024) proposes continuous markets in infinite-dimensional L² function space: traders hold payout functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$, invariant $\|f\|_2 = k$, solvency requires $\max(f) \leq b$.

پارادایم (دیو وایت، ۲۰۲۴) بازارهای پیوسته در فضای تابعی L² پیشنهاد می‌کند: معامله‌گران توابع پرداخت نگهداری می‌کنند، ناوردا $\|f\|_2 = k$، توانایی پرداخت $\max(f) \leq b$.

1. Invariant preservation: Every trade preserves $\sum x_i^2 = k^2$ within ε = 256.حفظ ناوردا: هر معامله $\sum x_i^2 = k^2$ را حفظ می‌کند (ε = ۲۵۶).
2. Solvency: vault ≥ k, max redemption ≤ k. Always solvent.توانایی پرداخت: vault ≥ k. همیشه توان پرداخت.
3. No arbitrage (within fees): Probabilities sum to 1.بدون آربیتراژ: احتمالات جمعشان ۱.
4. Market scoring rule: Equilibrium $x \propto p$.قاعده امتیازدهی: تعادل $x \propto p$.

Newton's method for ⌊√n⌋ in u128: start x₀ = n/2 + 1, iterate xₚ₊₁ = ⌊(xₚ + n/xₚ)/2⌋, stop when xₚ₊₁ ≥ xₚ. Converges in ≤ 64 iterations.

روش نیوتن برای ⌊√n⌋ در u128: شروع x₀ = n/2 + 1، تکرار. در ≤ ۶۴ تکرار همگرا.